시간과 위험: 나중에, 그리고 불확실하게 오는 결과를 고르는 법
지난주의 최적화 소비자를 시간과 위험으로 넓혀요. 시간은 이자율과 현재가치(PV·NPV)로, 위험은 기대효용과 위험회피로 다뤄요. 마지막으로 둘을 합쳐 위험 있는 투자와 기다릴 권리의 가치를 계산해요.
보충 표시는 교수님 자료와 필기에 없는데 이해를 위해 더한 내용이에요.
용어 사전
이 노트에 나오는 줄임말과 기호예요. 처음 보면 이 표로 돌아와서 확인하세요.
| 용어 | 뜻 |
|---|---|
| PV | Present 현재 + Value 가치 현재가치. 나중에 받을 돈이 오늘 돈으로 얼마인지 |
| FV | Future 미래 + Value 가치 미래가치. 오늘 돈을 이자로 굴리면 나중에 얼마가 되는지 |
| NPV | Net 순 + Present 현재 + Value 가치 순현재가치. 들어올 돈의 현재가치에서 들어갈 돈을 뺀 값 |
| LTV | Lifetime 평생 + Value 가치 고객 생애 가치. 고객 한 명이 앞으로 남겨 줄 이익의 현재가치 |
| r | rate 이자율 시간의 가격. 오늘 1을 참으면 내일 1 + r을 받아요 |
| δ | delta 델타 (할인 인자) 사람의 참을성. 1에 가까울수록 미래 만족을 크게 쳐 줘요 |
| EV | Expected 기대 + Value 값 기대값. 결과마다 확률을 곱해 더한 평균 금액 |
| EU | Expected 기대 + Utility 효용 기대효용. 결과마다 효용에 확률을 곱해 더한 평균 만족 |
| CE | Certainty 확실성 + Equivalent 같은 값 확실성 등가. 위험한 도박 대신 받아도 똑같이 좋은 확실한 금액 |
| MRS | Marginal 한계 + Rate 비율 + of Substitution 대체 한계대체율. 하나를 더 얻으려고 다른 것을 얼마나 내놓을지 |
| R&D | Research 연구 + and + Development 개발 연구개발. 지금 돈을 쓰고 나중에 성과를 기대하는 대표 투자 |
1부. 오늘의 지도와 지난주 복습
1-1. 오늘 배울 세 가지
지난주에는 한 순간에 사는 소비자를 배웠어요. 좋아하는 것(선호)과 살 수 있는 것(예산)을 합쳐 가장 좋은 묶음을 골랐죠.
그런데 진짜 결정은 결과가 나중에 오거나, 확실하지 않게 와요. 저축, 교육, 연구개발(R&D), 설비 구입은 나중에 결과가 와요. 신제품 출시, 채용, 투자, 보험은 결과가 불확실해요.
오늘은 지난주와 같은 최적화 틀을 시간과 위험으로 넓혀요. 수업 순서는 이래요.
| 순서 | 주제 | 영어 | 대표 예 |
|---|---|---|---|
| ① | 효용 극대화 (복습) | Utility Maximization | 소비자 선택 |
| ② | 시간 선호 | Inter-temporal Choice | 저축 |
| ③ | 불확실성 아래의 결정 | Choice under Uncertainty · Expected Utility | 주식 |
경영 결정은 거의 다 "지금 무언가를 내고 → 나중에 (아마도) 받는" 구조예요. 설비 투자, 연구개발, 채용, 브랜드 만들기가 그래요. 구독 상품의 가격도 앞으로 들어올 돈의 흐름이에요. 그래서 오늘 두 도구를 배워요. 시간을 다루는 현재가치와, 위험을 다루는 기대효용이에요.
필기에는 "실수를 안 하는 사람"이라는 말이 있어요. 오늘 배우는 모형은 모두 합리적인(rational) 사람이 기준이에요. 실제 사람이 여기서 어떻게 벗어나는지는 다음 주(행동경제학)에 다뤄요.
- 오늘의 주제: 한 순간의 최적화를 시간과 위험으로 넓히기
- 두 도구: 현재가치(시간), 기대효용(위험)
- 기준은 실수하지 않는 합리적인 사람
1-2. 복습: 예산 안에서 효용을 가장 크게
수업에서는 효용함수 u(x₁, x₂) = √x₁ · √x₂ 와 예산 2x₁ + x₂ ≤ 3 으로 시작했어요. 재화 1의 값은 2, 재화 2의 값은 1, 쓸 수 있는 돈은 3이라는 뜻이에요. 사는 양은 0보다 작을 수 없어요.
접점 조건 Tangency · MRS = P₁/P₂
예산선은 "살 수 있는 묶음"의 경계예요. 무차별곡선은 "똑같이 좋은 묶음"을 이은 선이에요. 같은 만족을 주는 조합을 찾고 싶을 때 이 선을 그려요(예: ū = 1인 조합).
무차별곡선은 안쪽으로 볼록(convex)해요. 많이 가진 물건은 덜 귀하니까, 기울기가 점점 눕는 모양이 돼요.
가장 좋은 점은 예산선과 무차별곡선이 딱 한 점에서 닿는(접하는) 곳이에요. 거기서 곡선의 기울기(MRS)와 예산선의 기울기(P₁/P₂)가 같아요.
MRS는 "내가 재화 1을 재화 2로 몇 개쯤 쳐 주는지"예요. P₁/P₂는 "시장이 재화 1을 재화 2로 몇 개로 쳐 주는지"예요. 둘이 다르면 바꿔서 이득을 볼 수 있으니, 최적점에서는 같아야 해요.
예산선을 그려요. 2x₁ + x₂ = 3이면 x₂축 3, x₁축 1.5에서 만나요.
MRS = x₂ / x₁ 과 가격 비율 2/1을 같게 놓아요. 그러면 x₂ = 2x₁이에요.
예산에 넣어요. 2x₁ + 2x₁ = 3 → x₁ = 0.75, x₂ = 1.5예요.
| 비유 | 경제학 | |
| 내 마음: "우유 1개 = 빵 2개쯤" | ↔ | MRS |
| 가격표: "우유 1개 = 빵 2개 값" | ↔ | 가격 비율 P₁/P₂ |
| 둘이 같아질 때까지 장바구니 조정 | ↔ | 최적점에서 MRS = P₁/P₂ |
Q. MRS와 가격 비율이 다르면 어떻게 되나요? (필기: "아니라고 하면 부등호 방향이?")
A. MRS가 가격 비율보다 크면, 재화 1이 시장 가격보다 나에게 더 값지다는 뜻이에요. 그러면 재화 1을 더 사는 게 이득이에요. 반대로 작으면 재화 1을 덜 사요. 이렇게 옮기다 보면 결국 둘이 같아지는 곳에서 멈춰요. 주관(내 마음)과 시장의 가치가 서로 모순되지 않아야 최적이에요.
- 최적점: 예산선과 무차별곡선이 접하는 점
- 조건: MRS = P₁ / P₂ (내 마음 = 시장)
- 수업 예제의 답: x₁ = 0.75, x₂ = 1.5
가격을 정할 때 "고객 마음속 교환 비율(MRS)"을 떠올려 보세요. 고객이 우리 상품을 다른 상품 몇 개로 쳐 주는지 알면, 그보다 낮게 가격을 매겨야 팔려요.
이 "내 마음 = 시장" 생각은 오늘 시간 문제(오늘 vs 내일)에서도 똑같이 쓰여요.
2부. 시간: 오늘의 돈과 내일의 돈
2-1. 오늘의 100달러가 내일의 100달러보다 좋은 이유
오늘 100달러와 1년 뒤 100달러 중 무엇이 좋을까요? 대부분 오늘을 골라요. 이유는 세 가지예요.
| 이유 | 뜻 | 예 |
|---|---|---|
| 기회비용 | 오늘 돈은 굴릴 수 있어요 | 5%로 넣으면 1년 뒤 105달러 |
| 참을성 부족 | 사람은 그냥 빨리 쓰는 걸 좋아해요 | 맛있는 건 지금 먹고 싶어요 |
| 불확실성 | 나중에 준다는 약속은 깨질 수 있어요 | 회사가 망하면 못 받아요 |
그래서 이자율 r은 시간의 가격이에요. 시장이 "오늘"과 "내일"을 바꿔 주는 환율이라고 생각하면 돼요.
지난주 그림을 그대로 다시 써요. 두 물건을 "오늘의 소비 c₀"와 "내일의 소비 c₁"로 바꾸면 돼요. 예산선의 기울기는 −(1 + r)이에요. 오늘 1을 덜 쓰면 내일 1 + r을 더 쓸 수 있다는 뜻이에요. 저축하거나 빌리는 것은 이 선 위에서 움직이는 것뿐이에요.
말로 풀면: 가장 좋은 저축은 "내가 오늘을 내일로 쳐 주는 비율"이 "시장의 이자율"과 같아질 때예요. 지난주 공식과 똑같아요.
- 돈에는 시간 값이 있어요: 기회비용, 참을성, 불확실성
- 이자율 r = 시장이 매긴 시간의 가격
- 최적 저축: MRS = 1 + r (지난주 공식의 재활용)
2-2. 복리와 현재가치
말로 풀면: X를 이자율 r로 t년 굴리면, 해마다 (1 + r)을 곱한 만큼 불어나요. 이자에도 이자가 붙어요(복리).
현재가치 PV · Present Value
미래가치(FV)를 거꾸로 돌린 거예요. "t년 뒤 X달러"를 (1 + r)ᵗ로 나누면 오늘 값이 나와요.
이렇게 모든 돈을 "오늘 달러"로 바꾸면, 언제 받든 한 저울에 올려 비교할 수 있어요. 지금과 나중을 비교하는 모든 질문에 쓰여요.
r이 클수록, t가 길수록 미래 돈의 오늘 값은 작아져요. 멀리 있는 돈일수록 많이 깎여요.
받을 시점 t와 금액 X를 적어요.
이자율 r로 (1 + r)ᵗ를 계산해요.
X를 그 값으로 나눠요. 이게 오늘 값(PV)이에요.
| 비유 | 경제학 | |
| "내년 설에 11만 원 줄게" | ↔ | 1년 뒤 X |
| "그 대신 지금 받으면 10만 원" | ↔ | 현재가치 PV |
| 은행 이자가 높을수록 지금 받는 값이 작아도 돼요 | ↔ | r이 크면 PV가 작아짐 |
돈이 계속 들어오면: 영구연금
월세, 구독료, 배당처럼 돈은 보통 여러 번 들어와요. 매년 C를 영원히 받는 것을 영구연금(perpetuity)이라고 해요. 끝없이 더해야 할 것 같지만 나눗셈 하나로 끝나요.
말로 풀면: 매년 30달러를 영원히 받고 이자율이 10%면, 오늘 값은 30 ÷ 0.1 = 300달러예요. 잠시 뒤 고객 가치 공식도 이 원리로 나와요.
- FV = X(1 + r)ᵗ: 오늘 돈을 미래로
- PV = X / (1 + r)ᵗ: 미래 돈을 오늘로
- 영구연금 PV = C / r
2-3. 순현재가치(NPV) 규칙
순현재가치 NPV · Net Present Value
프로젝트는 돈의 흐름이에요. 보통 처음(C₀)에는 돈이 나가고(음수), 그 뒤로 돈이 들어와요(C₁, C₂, …).
규칙은 간단해요. 지금 하거나 영영 못 하는 프로젝트라면 NPV가 0보다 크면 투자해요. 여러 개 중 하나만 고를 때는 NPV가 가장 큰 것을 골라요. "아무것도 안 하기(NPV = 0)"와 "기다리기"도 선택지에 올려요.
비용과 이익을 모두 오늘 달러 한 저울에 올리는 방법이라, 기업 투자 결정의 기본 도구예요.
해마다 나가고 들어오는 돈을 적어요.
각 돈을 (1 + r)ᵗ로 나눠 오늘 값으로 바꿔요.
모두 더해요. 0보다 크면 투자, 작으면 안 해요.
| 비유 | 경제학 | |
| 오늘 장비값 10만 원 | ↔ | C₀ = −100 |
| 1년·2년 뒤 매출 6만 원씩 | ↔ | C₁, C₂ = +60 |
| 은행에 넣었을 때보다 남나? | ↔ | NPV > 0 인지 확인 |
너무 높은 할인율은 먼 미래를 죽여요
기업은 투자 심사 때 15~25%처럼 높은 "허들 레이트(hurdle rate, 넘어야 할 기준 수익률)"를 자주 써요. 실제 자금 조달 비용보다 훨씬 높아요. 한 연구에서는 기업이 말한 할인율 평균이 15.7%, 스스로 생각하는 자본 비용 평균이 8.4%였어요(Gormsen & Huber, 2025).
r이 높으면 먼 미래의 돈이 크게 깎여요. 25%로 할인하면 5년 뒤 100달러는 오늘 약 33달러예요. 그래서 연구개발, 브랜드, 인프라처럼 성과가 늦게 오는 프로젝트가 먼저 탈락해요. 할인율은 재무 숫자처럼 보이지만 사실은 전략 선택이에요.
- NPV = C₀ + C₁/(1 + r) + C₂/(1 + r)² + …
- 지금 아니면 못 하는 프로젝트: NPV > 0이면 투자
- 할인율을 높게 잡으면 장기 프로젝트가 불리해져요
2-4. 고객도 하나의 프로젝트: 고객 생애 가치
고객 생애 가치 LTV · Lifetime Value
고객도 프로젝트예요. 고객이 남아 있는 동안 해마다 이익 m을 남겨요. 그런데 해마다 일부는 떠나요. 남는 확률을 유지율 ρ(로)라고 해요.
1년 뒤 기대 이익은 mρ, 2년 뒤는 mρ²…처럼 줄어들어요. 이것을 할인해서 더하면 영구연금처럼 깔끔한 식이 나와요.
유지율 ρ는 분모에서 1 + r과 붙어 있어요. 그래서 ρ가 조금만 올라도 분모가 확 작아지고, LTV가 크게 뛰어요.
고객 한 명의 연간 이익 m, 유지율 ρ, 할인율 r을 정해요.
LTV = mρ / (1 + r − ρ)에 넣어요.
고객 확보 비용과 비교해요. LTV보다 적게 써야 이득이에요.
| 비유 | 경제학 | |
| 손님 한 명이 1년에 남기는 이익 | ↔ | 마진 m |
| 내년에도 올 확률 | ↔ | 유지율 ρ |
| 단골 한 명의 진짜 값어치 | ↔ | LTV |
말로 풀면: 매년 이익 × 남아 있을 확률을 할인해서 다 더한 값이에요.
그래서 구독 회사들은 해지율(churn, 고객이 떠나는 비율)에 집착해요. 성숙한 회사에서는 고객 유지 팀이 고객 확보 팀보다 중요하게 대접받는 이유예요.
- LTV = mρ / (1 + r − ρ)
- LTV는 고객 확보 비용의 상한선
- 유지율이 조금만 올라도 LTV가 크게 올라요
2-5. 돈에서 만족으로: 할인 효용 모형
사람은 돈만 할인하지 않아요. 만족(효용)도 할인해요. 새뮤얼슨(Samuelson, 1937)이 이 모형을 처음 썼어요.
말로 풀면: 오늘 만족은 그대로, 내일 만족은 δ배, 모레 만족은 δ²배로 쳐서 더해요.
수업 예제는 u(c₀, c₁) = √c₀ + δ√c₁ 이었어요. c₀는 오늘의 소비, c₁은 내일의 소비예요. 오늘의 내가 "오늘도 쓰고 내일도 쓰는" 계획을 세우는 거예요. 소비는 그 기간에 다 써 버리는 것으로 봐요(오래 쓰는 물건, 즉 내구재가 아니에요).
할인 인자 δ · Discount Factor
δ(델타)가 1에 가까우면 참을성이 많아요. 내일의 만족도 오늘만큼 소중히 여겨요. δ가 작으면 참을성이 적어요. 미래를 많이 깎아요.
오늘과 내일 소비는 똑같은 효용함수 u로 재요. 다만 내일 것은 δ를 곱해서 오늘로 가져와요. 미래는 불확실하고 기다리기 싫으니까요.
최적 저축에서는 지난주처럼 MRS가 가격과 같아져요. 여기서 MRS는 δ에서 나오고, 가격은 1 + r이에요. 즉 내 참을성(δ)과 시장 이자율(r)이 만나는 곳에서 저축량이 정해져요.
오늘 소비의 만족 u(c₀)를 그대로 둬요.
내일 만족에는 δ, 모레에는 δ²를 곱해요.
모두 더한 값 U₀가 가장 커지게 오늘·내일 소비를 나눠요.
| 비유 | 경제학 | |
| "오늘 한 조각 = 내일 한 조각"이라 느낌 | ↔ | δ가 1에 가까움 (참을성 많음) |
| "지금 안 먹으면 의미 없어" | ↔ | δ가 작음 (참을성 적음) |
| 케이크를 오늘·내일로 나누는 비율 | ↔ | 최적 저축 |
참을성 많은 사람(δ가 큼)이 이자율이 높은 시장을 만나면 저축을 많이 해요. 시장이 기다림에 주는 값이 그 사람이 느끼는 기다림의 비용보다 크기 때문이에요. δ는 직접 볼 수 없어서, 지난주의 현시선호처럼 선택을 보고 거꾸로 알아내요.
- U₀ = u(c₀) + δu(c₁) + δ²u(c₂) + …
- δ: 나의 참을성 (1에 가까울수록 참을성 많음)
- r은 시장, δ는 내 마음. 최적 저축은 둘이 만나는 곳
2-6. 시간 일관성: 오늘 세운 계획을 내일도 지킬까
시간 일관성 Time Consistency
δ를 날마다 똑같이 곱하는 모형(지수형 할인)에서는, 두 날짜 사이의 저울질이 두 날짜의 거리에만 달려 있어요. 언제 따져 보든 같아요.
그래서 오늘 정한 계획이 내일 봐도 최선이에요. 미래의 나는 나의 편이에요. 스스로를 묶어 둘 장치(약속, 자동이체 같은 것)가 필요 없어요.
이건 정의가 아니라 예측이에요. 실제 사람으로 시험해 볼 수 있어요. 다음 주(Topic 3)에 사람들이 정말 그런지 확인해요.
두 선택지와 받는 날짜를 적어요. ($100 오늘 vs $110 내일)
오늘 기준으로 할인해서 비교해요. 100 vs 0.95 × 110 = 104.5
하루 전 기준으로도 비교해요. 둘 다 0.95를 한 번 더 곱해도 순위가 그대로예요.
| 비유 | 경제학 | |
| 한 달 전에 정한 출발일 | ↔ | 오늘 세운 계획 |
| 출발 전날에도 같은 날이 좋음 | ↔ | 시간 일관성 |
| 전날 갑자기 미루고 싶어짐 | ↔ | 시간 불일치 (다음 주 주제) |
- 지수형 할인: 날짜 사이의 거리만 중요
- 그래서 계획이 바뀌지 않아요 (시간 일관성)
- 이건 시험해 볼 수 있는 예측이에요
- 미래가치: FV = X(1 + r)ᵗ
- 현재가치: PV = X / (1 + r)ᵗ, 영구연금 PV = C / r
- 결정 규칙: NPV > 0이면 투자 (아니면 NPV끼리 비교)
- 사람: U₀ = Σ δᵗ u(cₜ) → 시간 일관적인 계획
3부. 위험: 결과가 불확실할 때의 선택
3-1. 로터리와 기대값
위험한 것은 모두 로터리(lottery, 복권)로 쓸 수 있어요. 로터리는 "결과와 그 확률의 목록"이에요. 확률 p₁로 x₁, 확률 p₂로 x₂, … 이런 식이에요. 확률은 다 더하면 1이에요.
신제품 출시도 로터리예요. 대박 30%, 보통 50%, 실패 20%처럼요. 주식이 들어간 입사 제안, 보험, 소송도 마찬가지예요.
기대값 EV · Expected Value
기대값은 "이 도박을 아주 여러 번 하면 평균적으로 얼마를 받을까"예요. 확률이 큰 결과일수록 평균에 많이 반영돼요.
가장 쉬운 규칙은 "기대값이 가장 큰 로터리를 고르자"예요. 간단하고 객관적이에요.
하지만 사람의 실제 선택을 설명하기에는 틀린 규칙이에요. 다음 장의 두 사고실험이 그 이유를 보여 줘요.
가능한 결과를 모두 적어요.
각 결과에 그 확률을 곱해요.
모두 더해요. 그게 기대값이에요.
| 비유 | 경제학 | |
| 주사위를 수천 번 던졌을 때 평균 상금 | ↔ | 기대값 EV |
| 한 번 던질 때 실제 상금 | ↔ | 로터리의 결과 하나 |
| 평균이 같아도 떨리는 정도는 다름 | ↔ | 기대값이 못 보는 위험 |
Q. 로터리의 기대값이 무한대일 수도 있나요? (필기: "로터리는 무한대다?")
A. 네, 그런 로터리를 만들 수 있어요. 다음 장의 세인트피터스버그 게임이 바로 기대값이 무한대인 로터리예요. 그런데 사람들은 그 게임에 몇 달러밖에 안 내요. 그래서 기대값만으로는 부족하다는 걸 알 수 있어요.
- 위험한 선택 = 로터리 (결과 + 확률)
- EV = p₁x₁ + p₂x₂ + …
- 기대값만으로는 사람의 선택을 설명 못 해요
3-2. 기대값이 틀리는 두 가지 사고실험
사고실험 1: 두 배 아니면 0
내 전 재산이 10만 달러라고 해요. 동전을 던져 앞면이면 재산이 20만 달러로 두 배, 뒷면이면 0이 돼요. 기대값은 0.5 × 200,000 = 10만 달러로 지금 재산과 같아요. 기대값 규칙대로라면 해도 그만, 안 해도 그만이에요. 그런데 거의 모든 사람이 단호하게 거절해요.
처음 10만 달러를 잃는 고통이, 두 번째 10만 달러를 얻는 기쁨보다 크기 때문이에요. 가치는 돈에 정비례하지 않아요.
사고실험 2: 세인트피터스버그 게임
앞면이 나올 때까지 동전을 던져요. n번째에 처음 앞면이 나오면 2ⁿ달러를 받아요.
| 처음 앞면이 나온 차례 | 확률 | 상금 | 확률 × 상금 |
|---|---|---|---|
| 1번째 | 1/2 | $2 | 1 |
| 2번째 | 1/4 | $4 | 1 |
| 3번째 | 1/8 | $8 | 1 |
| … | … | … | 1씩 끝없이 |
기대값은 1 + 1 + 1 + … = 무한대예요. 기대값 규칙대로라면 아무리 비싸도 이 게임을 해야 해요. 하지만 사람들은 보통 몇 달러만 내겠다고 해요. 이것이 세인트피터스버그 역설이에요.
베르누이(Bernoulli, 1738)의 해법은 이래요. 사람은 돈 자체가 아니라 돈이 주는 효용을 따져요. 그리고 돈이 많아질수록 효용은 점점 느리게 늘어요. 즉 효용함수 u가 오목(concave)해요.
Q. 그럼 도대체 어떻게 평가해야 맞나요? (필기: "가치평가를 어떻게 하는 게 맞냐?")
A. 결과를 "돈"으로 평균 내지 말고 "효용"으로 평균 내면 돼요. 이게 다음 장의 기대효용이에요. 효용함수는 지난주에 배운 것과 같은 생각의 연장선에 있어요. 돈이 늘수록 한 단위 더 늘어나는 만족은 작아져요.
- 두 배 아니면 0: 기대값은 같아도 사람들은 거절해요
- 세인트피터스버그: 기대값 무한대인데 몇 달러만 내요
- 해법: 돈 대신 효용으로, 효용은 오목
3-3. 기대효용
기대효용 EU · Expected Utility
폰 노이만과 모르겐슈테른(von Neumann & Morgenstern, 1944)이 정리했어요. 로터리를 기대효용 크기로 줄 세워요. 지난주와 같은 최적화 생각인데, 효용을 결과들에 대해 평균 낸 거예요.
이 방법은 로터리에 대한 네 가지 일관성 규칙(공리)에서 나와요. 완전성, 이행성, 연속성, 그리고 독립성이에요. 독립성은 "L이 L′보다 좋으면, 둘에 같은 로터리 M을 같은 비율로 섞어도 순서가 그대로"라는 규칙이에요.
독립성은 지난주에 없던 새 규칙이에요. 이 규칙 덕분에 효용이 확률에 대해 "곱해서 더하는" 모양이 돼요.
위험을 대하는 태도는 모두 u의 모양에 담겨요. 다음 장에서 봐요.
각 결과의 돈을 효용 u(x)로 바꿔요.
각 효용에 확률을 곱해요.
모두 더해요. 기대효용이 큰 로터리를 골라요.
| 비유 | 경제학 | |
| 첫 조각의 기쁨 > 다섯째 조각의 기쁨 | ↔ | 돈의 효용이 점점 느리게 늘어남 |
| "조각 수" 대신 "기쁨"으로 평균 내기 | ↔ | 기대값 대신 기대효용 |
| 기쁨 평균이 큰 쪽을 고름 | ↔ | EU가 큰 로터리 선택 |
말로 풀면: 결과마다 "그 결과의 효용 × 확률"을 더해요. 필기의 U(L) = P₁u(x₁) + P₂u(x₂) + … 와 같은 식이에요.
- EU = Σ pᵢ u(xᵢ)
- 근거: 완전성·이행성·연속성·독립성 네 공리
- 위험 태도는 u의 모양에 담겨요
3-4. 위험회피 = 효용함수가 오목하다
위험회피 Risk Aversion · Concave u
오목한 u에서는 돈 1달러가 더 생길 때마다 효용이 앞의 1달러보다 조금씩 덜 늘어요. 그래프가 위로 볼록한 둥근 지붕 모양이에요.
도박의 기대효용(EU)은 두 결과를 잇는 직선(줄) 위의 점이에요. 평균 금액을 확실히 받을 때의 효용 u(EV)는 곡선 위의 점이에요. 오목하면 곡선이 줄보다 위에 있어서 u(EV) > EU가 돼요. 확실한 쪽이 이겨요.
이건 겁이 많다는 뜻이 아니에요. u가 오목하면 산수일 뿐이에요. 잃는 돈은 "더 중요한 돈"을 깎고, 얻는 돈은 "덜 중요한 돈"을 보태기 때문이에요.
처음 10만 달러는 집, 건강, 안전 같은 필수품을 사요. 다음 10만 달러는 업그레이드를 사요. 지난주의 "첫 커피가 셋째 커피보다 좋다"와 같은 느낌이에요.
도박의 기대값 EV를 구해요.
EV를 확실히 받을 때의 효용 u(EV)와, 도박의 기대효용 EU를 구해요.
u(EV) > EU면 위험회피예요. 확실한 EV를 더 좋아해요.
| 비유 | 경제학 | |
| 비 올지 말지 모르는 날 | ↔ | 로터리 |
| 귀찮아도 우산을 챙김 | ↔ | 확실함을 좋아함 (위험회피) |
| 우산 무게만큼의 불편함 | ↔ | 위험을 없애는 값 |
Q. 오목한 게 위험회피의 "정의"인가요? 그게 말이 되나요? (필기: "이게 정의야?")
A. 네, 경제학에서는 그렇게 정의해요. 그리고 말이 되는지는 "기대값을 확실히 받을래, 아니면 로터리를 할래?"라고 물어서 확인해요. 확실한 쪽을 고르는 사람, 즉 u(EV) > EU인 사람을 위험회피라고 불러요. 이 부등식이 성립하는 것과 u가 오목한 것은 같은 말이에요. 다만 교수님 자료는 한 가지를 조심하라고 해요. "돈의 한계효용이 줄어든다"는 오목함을 그리는 이유(동기)일 뿐, 증명은 아니에요. 오목함은 로터리 선택을 보고 드러나요.
- 위험회피 ⇔ u가 오목 ⇔ u(EV) > EU
- 겁이 아니라 산수: 잃는 돈이 더 중요한 돈
- 기대효용의 u는 모양까지 의미가 있어요(기수적)
3-5. 확실성 등가와 위험 프리미엄
확실성 등가 CE · Certainty Equivalent
정의는 u(CE) = EU(L)이에요. 도박의 기대효용과 같은 효용을 주는 확실한 돈이 CE예요.
위험 프리미엄 = EV − CE예요. 위험을 없애려고 낼 마음이 있는 돈이에요.
위험회피라면 CE < EV이고, 위험 프리미엄이 0보다 커요. 기업은 개인보다 위험을 줄일(중화할) 방법이 많아서, 이 차이가 거래의 기회가 돼요.
도박의 기대효용 EU를 구해요. (√ 예: 5)
u(CE) = EU를 풀어요. √CE = 5 → CE = 25
위험 프리미엄 = EV − CE = 50 − 25 = 25
| 비유 | 경제학 | |
| 응모권을 그냥 들고 있기 | ↔ | 로터리 L |
| "지금 2만 5천 원 주면 팔게" | ↔ | 확실성 등가 CE |
| 평균 가치 5만 원과의 차이 | ↔ | 위험 프리미엄 |
위험 태도는 세 가지예요
| 태도 | 효용함수 모양 | CE와 EV |
|---|---|---|
| 위험회피 | 오목 | CE < EV |
| 위험중립 | 직선 | CE = EV |
| 위험선호 | 볼록 | CE > EV |
개인은 재산, 건강, 경력처럼 큰 판돈에서는 위험회피적이에요. 여러 사업을 가진 큰 기업은 프로젝트 하나 크기의 위험에 대해서는 거의 위험중립이에요. 주주가 여러 곳에 나눠 투자하고 있기 때문이에요. 그래서 같은 관리자도 "내 경력이 걸린 위험" 때문에 회사 결정을 지나치게 조심스럽게 할 수 있어요.
Q. u(x) = x 이면 u(EV)와 EU(L)이 똑같나요? (필기: "이게 동일하다?? 뭔지 어렵다")
A. 네, 똑같아요. u(x) = x는 직선이라서 "돈 = 효용"이에요. 그러면 효용으로 평균 내나 돈으로 평균 내나 결과가 같아요. 반반 0/100 도박이면 u(EV) = 50이고, EU = 0.5 × 0 + 0.5 × 100 = 50이에요. 그래서 CE = EV = 50이고 위험 프리미엄은 0이에요. 이런 사람을 위험중립이라고 해요. 위험이 있든 없든 기대값만 봐요.
- u(CE) = EU(L)
- 위험 프리미엄 = EV − CE (위험회피면 0보다 큼)
- 오목 = 회피, 직선 = 중립, 볼록 = 선호
3-6. 보험과 분산: 위험을 사고파는 법
보험 Insurance · Selling Risk
보험료는 항상 기대 손실보다 비싸요. 보험사도 비용과 이윤이 필요하니까요. 그래도 사는 게 합리적일 수 있어요.
위험회피적인 사람은 도박의 가치를 EV보다 낮은 CE로 쳐요. 그래서 보험료가 "기대 손실"과 "기대 손실 + 내 위험 프리미엄" 사이면 양쪽 다 이득이에요.
위험 프리미엄이 바로 거래가 생기는 공간이에요.
보험이 없을 때의 CE를 구해요. (재산 100, 반반으로 0 → CE 25)
보험에 들면 확실히 남는 돈을 구해요. (100 − 60 = 40)
확실히 남는 돈이 CE보다 크면 가입해요. (40 > 25)
| 비유 | 경제학 | |
| 자전거를 잃을지도 모르는 불안 | ↔ | 내가 싫어하는 위험 |
| 매달 내는 보험료 | ↔ | 위험을 파는 값 |
| 보험사는 수천 명분을 모아 평균만 봄 | ↔ | 위험 풀링 |
보험사는 왜 그 위험을 감당할 수 있을까
보험사는 서로 독립적인 위험을 아주 많이 모아요. 그러면 정책 하나당 평균 손실이 기대값 근처로 몰려요(큰 수의 법칙). 거의 확실한 평균 비용에 약간 얹은 보험료를 받으면 이윤이 나요. 나는 싫어하는 위험을 덜고, 보험사는 위험이 거의 없는 묶음을 가져요. 둘 다 이득이에요.
분산: 회사 안에서도 같은 마법
달걀을 한 바구니에 담지 마세요. 반반 확률로 0 또는 100달러를 주는 서로 독립인 프로젝트 두 개에 반씩 나눠 걸면, 결과는 0달러(25%), 50달러(50%), 100달러(25%)가 돼요. 기대값은 같은데 극단적인 위험은 줄어요.
핵심 재료는 낮은 상관관계예요. 완전히 같이 움직이는 도박은 나눠도 효과가 없어요. 상관이 높을수록 효과가 줄어요. 연구개발 파이프라인, 시장 진출 순서, 공급업체 구성, 내 경력 기술에도 쓰여요. 다만 고객이 보험사보다 자기 위험을 더 잘 알면 보험이 잘 안 돌아가요(역선택, Topic 11).
- 보험 = 위험 팔기. 보험료가 "기대 손실 + 위험 프리미엄" 이하면 이득
- 보험사: 독립 위험을 모아 평균을 안정시켜요
- 분산: 기대값은 그대로, 극단 위험은 줄여요 (상관이 낮을수록)
3-7. 위험 선호는 잴 수 있어요
수업 끝에 "여러분의 효용함수를 알아낼 수 있다"는 이야기가 나왔어요. 위험회피는 설문이 아니라 선택으로 잴 수 있어요. 지난주 현시선호와 같은 교훈이에요.
대표 방법은 다중 가격 목록(multiple price list, Holt & Laury, 2002)이에요.
- 여러 줄에 걸쳐 "안전한 로터리 vs 위험한 로터리"를 고르게 해요.
- 줄이 내려갈수록 위험한 쪽의 높은 상금 확률이 올라가요.
- 안전 → 위험으로 갈아타는 줄이 그 사람의 위험회피 정도를 알려 줘요.
- 진짜 돈을 걸어요. 한 줄을 뽑아 실제로 지급해요.
예산을 정해 주고 선택을 보는 설계라는 점에서 GARP 실험과 같은 논리예요. 다음 주 행동경제학 도구의 예고편이기도 해요.
- 위험 태도는 설문보다 선택으로 재요
- Holt & Laury 다중 가격 목록: 갈아타는 지점 = 위험회피 정도
- 실제 돈을 걸어야 진짜 선택이 나와요
- 로터리 평가: EU = Σ pᵢ u(xᵢ)
- 위험회피 = 오목한 u ⇒ CE < EV, 프리미엄 = EV − CE
- 보험: 내 프리미엄까지는 위험을 팔 만해요. 보험사는 모아서 없애요
- 분산: 독립적인 도박은 기대값을 해치지 않고 위험을 줄여요
4부. 시간과 위험을 함께: 실제 투자 판단
4-1. 위험 있는 프로젝트의 NPV
실제 프로젝트는 "시간에 따라 들어오는 돈"이면서 "불확실한 로터리"예요. 표준 방법은 세 단계예요.
- 각 기간의 현금 흐름을 기대값으로 바꿔요.
- 위험을 반영한 할인율로 할인해요. r = 안전 이자율 + 위험 프리미엄
- NPV 규칙을 그대로 써요.
할인율에 붙는 위험 프리미엄은 주주가 분산으로 없앨 수 없는 위험, 즉 경제 전체와 같이 움직이는 위험에만 매겨요. "이 신약이 성공할까" 같은 프로젝트 고유의 위험은 분산된 포트폴리오 안에서 사라져서 프리미엄을 받지 못해요. 그래서 큰 기업은 그런 위험에 대해 위험중립처럼 행동할 수 있어요. (모든 기간에 같은 r을 쓰는 것은 표준적인 간편법이에요.)
위험 조정 NPV Risk-adjusted NPV
방법 A는 기대 현금 흐름을 그대로 두고, 위험 프리미엄을 붙인 할인율로 할인해요(분모에서 위험값).
방법 B는 현금 흐름을 확실성 등가로 깎고, 안전 이자율로 할인해요(분자에서 위험값). 두 방법은 같은 프리미엄을 위아래로 옮긴 것이라 답이 같아요.
흔한 실수는 둘 다 하는 거예요. 현금 흐름을 CE로 깎고 위험 할인율로도 할인하면, 위험을 두 번 매기게 돼요. 본전(NPV 0)인 프로젝트를 거절하게 되고, 기간이 길수록 피해가 커져요. 앞에서 본 너무 높은 허들 레이트의 원리가 바로 이거예요.
기대 현금 흐름을 구해요. 0.5 × 150 + 0.5 × 70 = 110
위험값을 한 곳에만 넣어요. A: 110 ÷ 1.10, 또는 B: CE 105 ÷ 1.05
둘 다 100이라 NPV = 0. 둘을 섞지 않아요.
| 비유 | 경제학 | |
| 국에 소금을 한 번 넣음 | ↔ | 위험값을 한 곳에만 매김 |
| 간장도 넣고 소금도 또 넣음 | ↔ | 위험을 두 번 매김 |
| 너무 짜서 아무도 안 먹음 | ↔ | 좋은 프로젝트를 거절 |
- 기대 현금 흐름 + 위험 조정 할인율 (r = 안전 + 프리미엄)
- 위험값은 분자 아니면 분모, 한 곳에만
- 프리미엄은 분산으로 못 없애는 위험에만 붙어요
4-2. 기다릴 수 있는 권리의 가치
기다릴 옵션 Option to Wait · Real Option
지금 100을 투자할지, 1년 기다려 수요를 보고 정할지 고르는 상황이에요(1년 안의 할인은 무시해요).
기다리면 나쁜 경우(수요 낮음)를 피할 수 있어요. 정보가 나쁜 가지를 잘라 주는 거예요.
"지금 아니면 끝"으로 계산한 NPV는 "기다리기"를 선택지에 올리지 않아서 이 가치를 놓쳐요. 가능한 계획 중 가장 좋은 것에 NPV를 적용하면 +40이 나오고, 지금 투자(+20)와의 차이 20이 실물옵션의 가치예요.
지금 투자의 NPV를 구해요. 0.5×180 + 0.5×60 − 100 = +20
기다렸다가 좋을 때만 투자하는 NPV를 구해요. 0.5×(180 − 100) = +40
차이가 옵션 가치예요. 40 − 20 = 20
| 비유 | 경제학 | |
| 지금 바로 비싼 코트 사기 | ↔ | 지금 투자 |
| 날씨를 보고 추우면 사기 | ↔ | 기다렸다 결정 |
| 안 추우면 돈을 아낌 | ↔ | 나쁜 가지를 피하는 옵션 가치 |
- 정보를 기다릴 수 있으면 그 권리에 가치가 있어요
- 지금 투자 +20 vs 기다리기 +40 → 옵션 가치 20
- NPV는 "가장 좋은 계획"에 적용해야 해요
4-3. 위험과 수익의 메뉴
시장은 위험에 값을 매겨요. 현금 → 채권 → 부동산 → 주식으로 갈수록 기대 수익률이 높아요. 대신 분산으로 없앨 수 없는 위험도 함께 커져요. 높은 기대 수익은 항상 높은 위험과 한 묶음으로만 와요.
그 차이(프리미엄)가 시장 전체가 정한 "위험을 떠안는 값"이에요. 그래서 "위험은 낮은데 수익은 높다"는 제안은 사기가 자주 쓰는 광고 문구예요.
- 기대 수익이 높으면 분산 못 하는 위험도 커요
- 프리미엄 = 시장이 매긴 위험의 값
- "저위험 고수익"은 의심부터
투자 심사 자료를 볼 때 두 가지를 확인하세요. 첫째, 현금 흐름 예측을 이미 보수적으로 깎았는데 할인율에도 위험을 또 얹지 않았는지요. 둘째, "지금 하기"와 "안 하기"만 비교하고 "기다리기"를 빼먹지 않았는지요.
기다리기 대신 "작게 시험해 보고 결정하기"도 같은 옵션 가치를 만들어요. 정보를 얻은 뒤에 크게 투자할지 정할 수 있기 때문이에요.
오늘 수업 전체 요약
| 부 | 한 줄 요약 |
|---|---|
| 1부 | 최적점에서는 MRS = 가격 비율. 오늘은 이 최적화를 시간과 위험으로 넓혀요. |
| 2부 | 이자율은 시간의 가격. PV·NPV로 돈을 오늘 값에 맞추고, 사람은 δ로 만족을 할인해요(시간 일관적). |
| 3부 | 로터리는 기대효용으로 평가하고, 오목한 u가 위험회피예요. CE와 위험 프리미엄이 보험·분산의 근거예요. |
| 4부 | 위험값은 분자나 분모 한 곳에만, 기다릴 수 있으면 옵션 가치까지 계산해요. |
용어 색인
| 한글 | 영어 | 한 줄 뜻 | 나온 장 |
|---|---|---|---|
| 미래가치 | Future Value (FV) | 오늘 돈을 이자로 굴린 미래의 값 | 2-2 |
| 현재가치 | Present Value (PV) | 미래 돈을 오늘 값으로 바꾼 것 | 2-2 |
| 영구연금 | Perpetuity | 매년 같은 돈을 영원히 받는 흐름, PV = C/r | 2-2 |
| 순현재가치 | Net Present Value (NPV) | 들어올 돈의 현재가치 − 나갈 돈 | 2-3 |
| 허들 레이트 | Hurdle Rate | 투자 심사에서 넘어야 하는 기준 할인율 | 2-3 |
| 고객 생애 가치 | Lifetime Value (LTV) | 고객이 남길 이익의 현재가치, mρ/(1+r−ρ) | 2-4 |
| 유지율 | Retention (ρ) | 고객이 다음 해에도 남아 있을 확률 | 2-4 |
| 할인 효용 모형 | Discounted Utility | 미래 효용에 δᵗ를 곱해 더하는 모형 | 2-5 |
| 할인 인자 | Discount Factor (δ) | 미래 만족에 주는 무게, 참을성 | 2-5 |
| 시간 일관성 | Time Consistency | 세운 계획이 시간이 지나도 최선인 성질 | 2-6 |
| 로터리 | Lottery | 결과와 확률의 목록 | 3-1 |
| 기대값 | Expected Value (EV) | 확률 가중 평균 금액 | 3-1 |
| 세인트피터스버그 역설 | St. Petersburg Paradox | 기대값이 무한대인데 몇 달러만 내는 현상 | 3-2 |
| 기대효용 | Expected Utility (EU) | 확률 가중 평균 효용 | 3-3 |
| 독립성 공리 | Independence Axiom | 같은 로터리를 섞어도 순서가 그대로라는 규칙 | 3-3 |
| 위험회피 | Risk Aversion | 효용함수가 오목, u(EV) > EU | 3-4 |
| 확실성 등가 | Certainty Equivalent (CE) | 도박과 같은 효용을 주는 확실한 금액 | 3-5 |
| 위험 프리미엄 | Risk Premium | EV − CE, 위험을 없애려고 낼 값 | 3-5 |
| 위험중립 | Risk Neutral | 효용함수가 직선, CE = EV | 3-5 |
| 위험 풀링 | Risk Pooling | 독립 위험을 모아 평균을 안정시키기 | 3-6 |
| 분산 투자 | Diversification | 관련 적은 곳에 나눠 걸어 위험 줄이기 | 3-6 |
| 다중 가격 목록 | Multiple Price List | 갈아타는 지점으로 위험회피를 재는 실험 | 3-7 |
| 위험 조정 할인율 | Risk-adjusted Rate | 안전 이자율 + 분산 못 하는 위험의 프리미엄 | 4-1 |
| 실물옵션 | Real Option | 기다렸다 결정할 수 있는 권리의 가치 | 4-2 |